طريقة المميز لحل المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد في R

 

حل المعادلات من الدرجة الثانية في $\mathbb{R}$

المعادلة من الدرجة الثانية هي معادلة تكون على الشكل التالي:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

حيث:

• $a$, $b$, $c$ أعداد حقيقية.
• $a \neq 0$ لأن المعادلة تصبح خطية إذا كان $a = 0$.

لحل هذه المعادلة في مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$، نستخدم الطريقة العامة المعروفة بـ"القانون العام" أو "الصيغة التربيعية".

---

1. القانون العام لحل المعادلة

الصيغة العامة لحل المعادلة هي:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

حيث:

• $b^2 - 4ac$ يُسمى المميز (Δ).

---

2. حالات الحل حسب المميز $\Delta$

أ. إذا كان $\Delta > 0$:

• يكون للمعادلة حلّان حقيقيّان ومختلفان:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$

ب. إذا كان $\Delta = 0$:

• يكون للمعادلة حلّ واحد (مكرر):

$$x = \frac{-b}{2a}$$

ج. إذا كان $\Delta < 0$:

• ليس للمعادلة أي حلول في $\mathbb{R}$ لأن الجذر التربيعي لعدد سالب غير معرف في الأعداد الحقيقية.

---

3. خطوات الحل

1. حساب المميز $\Delta = b^2 - 4ac$.
2. تحديد نوع الحل بناءً على $\Delta$.
3. تطبيق القانون العام لإيجاد الحلول إذا كانت $\Delta \geq 0$.

---

4. أمثلة توضيحية

المثال 1:

حل المعادلة:

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

• هنا: $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.
• نحسب $\Delta$:

$$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$

• بما أن $\Delta > 0$، فإن هناك حلّان مختلفان:

$$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

• الحل: $x_1 = 3$, $x_2 = 2$.

---

المثال 2:

حل المعادلة:

$$2x^2 - 4x + 2 = 0$$

• هنا: $a = 2$, $b = -4$, $c = 2$.
• نحسب $\Delta$:

$$\Delta = (-4)^2 - 4(2)(2) = 16 - 16 = 0$$

• بما أن $\Delta = 0$، فإن هناك حلّ واحد مكرر:

$$x = \frac{-(-4)}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1$$

• الحل: $x = 1$.

---

المثال 3:

حل المعادلة:

$$x^2 + x + 2 = 0$$

• هنا: $a = 1$, $b = 1$, $c = 2$.
• نحسب $\Delta$:

$$\Delta = (1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$$

• بما أن $\Delta < 0$، فإنه لا يوجد حلول في $\mathbb{R}$.

---

5. ملاحظات هامة

• إذا كان $\Delta < 0$، يمكن إيجاد الحلول في مجموعة الأعداد العقدية $\mathbb{C}$ باستخدام $i = \sqrt{-1}$.
• إذا كانت المعادلة غير مكتوبة بالصورة العامة، يجب أولًا ترتيبها لتصبح على الشكل $ax^2 + bx + c = 0$.

---

الخاتمة

حل المعادلات من الدرجة الثانية يعتمد بشكل رئيسي على حساب المميز $\Delta$ وتطبيق القانون العام. فهم هذه الطريقة يمكن أن يساعد في التعامل مع العديد من المسائل الرياضية والفيزيائية التي تعتمد على المعادلات التربيعية.