درس الاحتمالات لمستوى الباكلوريا علوم

 تمام ✅

أنت تقصد درس الاحتمالات لمستوى الباكالوريا شعبة العلوم.
خليني أقدملك ملخص مرتب مع أهم القواعد والتطبيقات.

---

📘 الاحتمالات (الباكالوريا علوم)

1. الفضاء العيني (Espace fondamental)

• هو مجموعة كل النتائج الممكنة لتجربة عشوائية.

• نرمز له بـ $\Omega$.

• مثال: رمي قطعة نقود → $\Omega = \{P, F\}$.

---

2. الحوادث (Événements)

• حادثة بسيطة: تحتوي نتيجة واحدة.

• حادثة مركبة: تحتوي أكثر من نتيجة.

• الحادثة المستحيلة: لا تحتوي أي نتيجة ($\varnothing$).

• الحادثة اليقينية: تحتوي كل عناصر الفضاء ($\Omega$).

• الاتحاد: $A \cup B$.

• التقاطع: $A \cap B$.

• المتممة: $\overline{A}$.

---

3. الاحتمال (Probabilité)

• إذا كانت كل النتائج مت equiprobables (متساوية الاحتمال):

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

---

4. قواعد أساسية

1. $0 \leq P(A) \leq 1$

2. $P(\Omega) = 1$

3. $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

4. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

---

5. التوافقات والتوافيق

التوافقات (Arrangements):

$$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$$

اختيار $p$ عناصر من بين $n$ مع الترتيب.

التوافيق (Combinaisons):

$$C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$$

اختيار $p$ عناصر من بين $n$ دون ترتيب.

---

6. التجارب المتعددة

• إذا كانت التجربة مركبة من مرحلتين مستقلتين:

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

---

7. الاحتمال الشرطي

$$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{(مع شرط أن } P(B) \neq 0\text{)}$$

---

8. قانون الاحتمال الكلي

$$P(A) = \sum_{i=1}^n P(A \cap B_i) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P_{B_i}(A)$$

حيث $B_1, B_2, \ldots, B_n$ تجزئة للفضاء.

---

9. صيغة بايز (Bayes)

$$P_{B_j}(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(B_j)}{\sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P_{B_i}(A)}$$

---

📝 مثال تطبيقي

كيس فيه 3 كرات حمراء و2 زرقاء. نسحب كرة عشوائياً.

• الفضاء: $\Omega = \{H,H,H,Z,Z\}$

• $P(\text{حمراء}) = \frac{3}{5}$

• $P(\text{زرقاء}) = \frac{2}{5}$.

---

تحب نجهزلك سلسلة تمارين محلولة على هذا الدرس باش تخدم بيها مباشرة؟