امتحان ثالث في الرياضيات باك علوم تجريبية

 تمام 👍

هنا امتحان ثالث في الرياضيات (باك علوم تجريبية) — مختلف عن الأول والثاني، فيه تمارين متنوعة (دوال، تكامل، متتاليات، إحصاء/احتمالات). كل تمرين عليه الحل المفصل.

---

الامتحان الثالث — المدة: 3 ساعات — النقطة: 20

---

التمرين 1 — دراسة دالة (6 ن)

نعرف الدالة:

$$f(x)=\frac{x^2+1}{x},\quad x\neq0.$$

1. حدد مجال تعريف $f$. (0.5 ن)

2. بسط $f(x)$ إلى شكل مجموع: $f(x)=x+\frac{1}{x}$. (0.5 ن)

3. أحسب النهايات عند $x\to0^\pm$ وعند $\pm\infty$. (1.5 ن)

4. استنتج المقارب إن وجد. (0.5 ن)

5. أحسب المشتقة وادرس إشارة $f'(x)$. (1.5 ن)

6. أنشئ جدول التغيرات. (1.5 ن)

الحل باختصار:

• المجال: $\mathbb{R}^*.$

• $f(x)=x+\frac{1}{x}.$

• $\lim_{x\to0^+}=+\infty,\;\lim_{x\to0^-}=-\infty,\;\lim_{x\to\pm\infty}=\pm\infty.$

• لا يوجد مقارب أفقي/مائل (لأن النهاية غير منتهية). فقط مقارب عمودي $x=0$.

• $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.$ إشارة موجبة إذا $|x|>1$، سالبة إذا $|x|<1.$

• جدول التغيرات: تناقص على $(0,1)$ و$(-1,0)$، تزايد على $(1,+\infty)$ و$(-\infty,-1)$.

---

التمرين 2 — تكامل (4 ن)

احسب:

$$I=\int_0^1 (e^x-1)\,dx.$$

الحل:

$$I=[e^x-x]_0^1 = (e-1)-(1-0)=e-2.$$

---

التمرين 3 — متتاليات (5 ن)

نعرف المتتالية $(u_n)$:

$$u_0=2,\quad u_{n+1}=3u_n-2.$$

1. أحسب $u_1,u_2$. (0.5 ن)

2. استنتج طبيعة المتتالية (هندسية/خطي متجانس). (1 ن)

3. جد التعبير العام $u_n$. (2.5 ن)

4. ناقش نهاية $(u_n)$. (1 ن)

الحل:

• $u_1=3\cdot2-2=4,\; u_2=3\cdot4-2=10.$

• علاقة خطية من الدرجة الأولى: $u_{n+1}-3u_n=-2.$

• نبحث عن حل ثابت: $L$ يحقق $L=3L-2\implies 2L=2\implies L=1.$

• نضع $v_n=u_n-1\implies v_{n+1}=3v_n.$ إذن $v_n=v_0\cdot3^n=(2-1)\cdot3^n=3^n.$

• إذن $u_n=3^n+1.$

• النهاية: $\lim_{n\to\infty}u_n=+\infty.$

---

التمرين 4 — احتمال/إحصاء (5 ن)

يحتوي كيس على 6 كرات: 2 حمراء، 2 زرقاء، 2 خضراء. نسحب كرتين معًا (دون ترتيب).

1. ما عدد الحالات الممكنة؟ (0.5 ن)

2. ما احتمال سحب كرتين من نفس اللون؟ (1.5 ن)

3. ما احتمال سحب كرتين بلونين مختلفين؟ (1 ن)

4. نعرف المتغير $X$: عدد الألوان المختلفة المسحوبة. أعط التوزيع الاحتمالي لـ $X$. (2 ن)

الحل:

1. عدد الحالات الممكنة: $\binom{6}{2}=15.$

2. الحالات بنفس اللون: لكل لون 2 كرات ⇒ $\binom{2}{2}=1$ لكل لون. مجموع = 3.
   الاحتمال = $3/15=1/5.$

3. مختلف اللون: 1 - 1/5 = 4/5.

4. $X=1$ إذا نفس اللون: $P(X=1)=1/5.$
   $X=2$ إذا مختلف اللون: $P(X=2)=4/5.$

---

✦ صار عندك الآن 3 نماذج مختلفة كاملة مع الحلول.
تحبني أجهز لك واحد بدون حلول لاستعماله كاختبار تجريبي تحلّه بنفسك؟