الإشتقاق لدالة عددية

 تمام 👌 خليني أجهزلك درس مرتب ومبسط حول الاشتقاق لدالة عددية، كأنه درس صفّي.

---

📘 الاشتقاق لدالة عددية

1. تعريف الاشتقاق

الاشتقاق هو أداة رياضية لقياس معدل تغير دالة عند نقطة معينة.
إذا كانت عندنا دالة $f(x)$، فمشتقتها عند نقطة $x=a$ تُعطى بالحد:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

هذا يسمى المشتقة أو الاشتقاق الأول.

👉 التفسير الهندسي: المشتقة هي ميل (tangent slope) المماس للمنحنى في النقطة $(a, f(a))$.

---

2. معنى الاشتقاق

• فيزيائياً: إذا مثلت $f(t)$ موقع جسم عند الزمن $t$، فالمشتقة $f'(t)$ تمثل السرعة اللحظية.

• هندسياً: المشتقة تعطي ميل المنحنى.

• عددياً: تحدد كيف يتغير $f(x)$ عندما نغير $x$ قليلاً.

---

3. قواعد أساسية للاشتقاق

1. مشتقة ثابت:

$$(c)' = 0$$

2. مشتقة $x^n$:

$$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$$

3. مشتقة مجموع أو فرق:

$$(f+g)' = f' + g', \quad (f-g)' = f'-g'$$

4. مشتقة جداء:

$$(f \cdot g)' = f'g + fg'$$

5. مشتقة قسمة:

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g(x) \neq 0$$

6. مشتقة مركب (قاعدة السلسلة):

$$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

---

4. بعض المشتقات المعروفة

• $(e^x)' = e^x$

• $(\ln(x))' = \frac{1}{x}, \quad x>0$

• $(\sin(x))' = \cos(x)$

• $(\cos(x))' = -\sin(x)$

• $(\tan(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$

---

5. أمثلة تطبيقية

🔹 مثال 1:

$$f(x) = x^2 + 3x - 5$$ $$f'(x) = 2x + 3$$

🔹 مثال 2:

$$f(x) = \sin(x)\cdot e^x$$

باستعمال قاعدة الجداء:

$$f'(x) = \cos(x)\cdot e^x + \sin(x)\cdot e^x$$

🔹 مثال 3 (تفسير هندسي):
$f(x) = x^2$
عند $x=1$:

$$f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$$

أي أن ميل المماس للمنحنى $y=x^2$ عند النقطة (1,1) يساوي 2.

---

6. استعمالات الاشتقاق

• دراسة التزايد والتناقص للدوال.

• إيجاد القيم القصوى (عظمى وصغرى).

• تحديد نقط الانعطاف وتقعر المنحنى.

• تطبيقات في الفيزياء: السرعة، التسارع.

• تطبيقات في الاقتصاد: إيجاد الربح/التكلفة المثلى.

---

هل تحبني أجهزلك نسخة فيها تمارين مع الحل حتى يكون الدرس كامل للتطبيق؟