تمام 👍 خليني أجهّزلك درس واضح ومبسّط في التكامل (الباكالوريا) مع القواعد الأساسية والأمثلة.

---

🧮 درس في التكامل – الباكالوريا

1. تعريف التكامل

التكامل غير المحدد لدالة $f(x)$ هو دالة $F(x)$ بحيث:

$$F'(x) = f(x)$$

ويكتب:

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

حيث $C$ ثابت تكامل.

---

2. القواعد الأساسية

أ) التكامل المباشر

• $\int k \, dx = kx + C$

• $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

• $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$

• $\int e^x \, dx = e^x + C$

• $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a>0, a \neq 1)$

• $\int \cos x \, dx = \sin x + C$

• $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

• $\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan(x) + C$

• $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin(x) + C$

---

ب) قواعد أساسية

• $\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$

• $\int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$

---

3. التكامل المحدد

التكامل المحدد لدالة $f(x)$ على المجال $[a, b]$ يُحسب كالتالي:

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

حيث $F(x)$ دالة أصلية لـ $f(x)$.

---

4. أمثلة تطبيقية

مثال 1:

$$\int (3x^2 + 2) \, dx$$

الحل:

$$= \int 3x^2 \, dx + \int 2 \, dx = x^3 + 2x + C$$

---

مثال 2 (تكامل محدد):

$$\int_0^2 (x^2) \, dx$$

الحل:

$$F(x) = \frac{x^3}{3}$$ $$\int_0^2 x^2 dx = F(2) - F(0) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$$

---

مثال 3:

$$\int e^x \cos x \, dx$$

→ هنا نحتاج تكامل بالأجزاء أو ملاحظة أنها حالة خاصة (تكامل متكرر يعطي نتيجة مركبة).

---

5. طرق خاصة

أ) التكامل بالتبديل (التغيير)

إذا كان عندك تركيب دالتين، نستعمل:

$$u = g(x) \quad \Rightarrow \quad du = g'(x) dx$$

ب) التكامل بالأجزاء

يُستعمل عندما يكون عندك جداء دالتين:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

---

هل تحب أعملك ملخص كامل على شكل جدول فيه أهم التكاملات مع طرق الحل (بالتبديل – بالأجزاء) عشان يكون جاهز للمراجعة قبل الباك؟