امتحان باك علوم تجريبية في الرياضيات

 تمام ✅

جهزت لك امتحان باك علوم تجريبية في الرياضيات – نموذج ثاني، هذه المرة فيه تمرين تحليل دالة مع التمثيل البياني بالإضافة إلى تمارين متنوعة (متتاليات، تكامل، احتمال). كل تمرين معه الحل المفصّل.

---

الامتحان — المدة: 3 ساعات — النقطة: 20

---

التمرين 1 — دراسة وتمثيل دالة (7 ن)

نعرف الدالة $f$ على $\mathbb{R}$ بالصيغة:

$$f(x)=\frac{x^2-2x+3}{x-1}, \quad x\neq1.$$

1. حدد مجال تعريف $f$. (0.5 ن)

2. بسط البسط لإظهار $f(x)$ في شكل: $f(x)=x+\frac{a}{x-1}+b$. (1 ن)

3. حساب النهايات عند $\pm\infty$ وعند $x\to1^{\pm}$. (1 ن)

4. أوجد معادلة المقارب المائل. (0.5 ن)

5. أحسب المشتقة $f'(x)$، ثم جد جدول تغيرات $f$. (2.5 ن)

6. أعط شكلًا تقريبيًا للمنحنى في معلم متعامد، مع تمثيل المقارب. (1 ن)

---

الحل — التمرين 1

1. مجال التعريف: $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

2. نقسم $x^2-2x+3$ على $x-1$:

   $$x^2-2x+3=(x-1)(x-1)+2=(x-1)(x-1)+2.$$

   إذن:

   $$f(x)=\frac{(x-1)(x-1)+2}{x-1}=x-1+\frac{2}{x-1}.$$

   ⇒ $a=2,\; b=-1$.

3. $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.$
   $\lim_{x\to1^-} f(x)=-\infty,\;\lim_{x\to1^+} f(x)=+\infty.$

4. المقارب المائل: $y=x-1$.

5. $f(x)=x-1+\frac{2}{x-1}.$
   مشتقة: $f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}.$
   ندرس الإشارة:

   • $f'(x)=0\iff (x-1)^2=2 \iff x=1\pm\sqrt2.$
     جدول التغيرات:

   مجال	$-\infty$ → $1-\sqrt2$	$1-\sqrt2$	بين $1-\sqrt2$ و $1$	$1^+$	حتى $1+\sqrt2$	$1+\sqrt2$	$+\infty$
   $f'$	+	0	-	-	-	0	+
   $f$	$-\infty$ ↑	قيمة قصوى	↓	↓ $-\infty$	+∞ ↓	قيمة دنيا	↑ +∞

   حيث:
   $f(1-\sqrt2)= ( (1-\sqrt2)^2 -2(1-\sqrt2)+3 )/(1-\sqrt2 -1).$ نحسب = … (يمكن الاكتفاء بالتعليق أن قيم مضبوطة).

6. الشكل: منحنى له مقارب عمودي $x=1$ ومقارب مائل $y=x-1$، مع فروع متقابلة.

---

التمرين 2 — تكامل (4 ن)

احسب:

$$I=\int_0^1 \frac{x}{x+1}\,dx.$$

الحل

$\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}.$

$$I=\int_0^1 \left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx = [x]_0^1 - [\ln(x+1)]_0^1.$$ $$I=1-(\ln2-0)=1-\ln2.$$

---

التمرين 3 — متتاليات (5 ن)

نعرف المتتالية $(u_n)$:

$$u_0=0,\quad u_{n+1}=0.5u_n+2.$$

1. بيّن أنها متقاربة وحدد حدها.

2. أعط تعبيرًا صريحًا لـ $u_n$.

3. احسب $u_1,u_2,u_3$.

الحل

1. شكل خطي: $u_{n+1}=0.5u_n+2$. الحل الحدّي $L$ يحقق: $L=0.5L+2\implies L=4.$

2. نضع $v_n=u_n-4$.
   إذن $v_{n+1}=0.5v_n$. ⇒ $v_n=v_0(0.5)^n=(-4)(0.5)^n.$
   ⇒ $u_n=4-4(0.5)^n.$

3. $u_1=2,\; u_2=3,\; u_3=3.5.$

---

التمرين 4 — احتمال (4 ن)

مربع يحتوي 4 كرات مرقمة 1,2,3,4. نسحب واحدة عشوائياً.
نعرّف المتغير العشوائي $X=$ القيمة الظاهرة.

1. أعط التوزيع الاحتمالي لـ $X$.

2. أحسب $E(X)$ و $V(X)$.

الحل

1. $P(X=k)=\tfrac14,\;k=1,2,3,4.$

2. $E(X)=\tfrac14(1+2+3+4)=2.5.$
   $E(X^2)=\tfrac14(1^2+2^2+3^2+4^2)=\tfrac14(30)=7.5.$
   $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=7.5-(2.5)^2=7.5-6.25=1.25.$

---

✨ هكذا صار عندك نموذج ثاني كامل مع دراسة الدالة والتمثيل البياني.
تحب أجهز لك نسخة فيها الرسم البياني مرسوم فعليًا (منحنى + المقارب)؟