امتحان بكالوريا سلك العلوم التجريبية مع الحل

 رائع — حضرت لك امتحان بكالوريا (سلك العلوم التجريبية) في مادة الرياضيات مع الحلّ المفصّل خطوة بخطوة. الامتحان مكوّن من 4 تمارين (مستوى باك عادي) يغطي التحليل، الدوال، الحساب التفاضلي والتكاملي، والمتتاليات، والاحتمالات. يمكنك طباعته أو نسخه للتدريب.

---

الامتحان — المدة: 3 ساعات — الدرجة: 20 نقطة

---

التمرين 1 — تحليل دالة (5 نقاط)

تُعطى الدالة $f$ معرفة على $\mathbb{R}$ بالصيغة:

$$f(x)=\frac{2x^2-3x+1}{x-1}\qquad (x\neq1),\quad f(1)=a$$

1. بيّن مجال تعريف $f$ وحدد أهمية اختيار $a$ بحيث تكون $f$ مستمرة عند $x=1$. (1.5 ن)

2. أبسط $f(x)$ عندما $x\neq1$ باستعمال القسمة أو التفكيك. (1 ن)

3. احسب $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)$ و$\lim_{x\to1} f(x)$ (0.5 ن)

4. جد $a$ لجعل $f$ مستمرة عند $1$. (0.5 ن)

5. اشتق $f$ عند كل نقطة $x\neq1$ وبيّن إشارة $f'(x)$ إن أمكن. (1.5 ن)

الحل — التمرين 1

1. مجال التعريف: $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. لتكون $f$ مستمرة عند $x=1$ يجب أن يكون $a=\lim_{x\to1} f(x)$.

2. نبسط البسط: $2x^2-3x+1 = 2x^2-2x - x +1 = 2x(x-1)-(x-1)=(x-1)(2x-1)$.
   إذن:

   $$f(x)=\frac{(x-1)(2x-1)}{x-1}=2x-1\quad\text{لـ }x\neq1.$$

3. بما أن $f(x)=2x-1$ لكل $x\neq1$:

   $$\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty.$$

   وعند $x\to1$: $\lim_{x\to1} f(x)=2\cdot1-1=1$.

4. لجعل الدالة مستمرة عند $1$ نأخذ $a=1$.

5. لأن $f(x)=2x-1$ على $\mathbb{R}\setminus\{1\}$، فالاشتقاق: $f'(x)=2$ لكل $x\neq1$. الإشارة: موجبة دائماً => $f$ دائمة الزيادة على كل جزء من مجالها.

---

التمرين 2 — حساب تفاضلي وتكاملي (5 نقاط)

تُعطى الدالة $g(x)=x\mathrm{e}^{-x}+ \ln(1+x)$ معرفة على $(-1,+\infty)$.

1. احسب $g'(x)$. (1.5 ن)

2. جد معادلة المستقيم المماس لمنحنى $y=g(x)$ عند $x=0$. (0.75 ن)

3. احسب $\displaystyle I=\int_0^1 \big(x\mathrm{e}^{-x}\big)\,dx$. (1.5 ن)

4. استعمل جزء 3 لإيجاد $\int_0^1 g(x)\,dx$. (1.25 ن)

الحل — التمرين 2

1. $g(x)=x\mathrm{e}^{-x}+\ln(1+x)$.

   • اشتقاق $x\mathrm{e}^{-x}$: نستخدم قاعدة جداء:
     $(x)' \mathrm{e}^{-x}+ x(\mathrm{e}^{-x})' = 1\cdot\mathrm{e}^{-x} + x\cdot(-\mathrm{e}^{-x}) = (1-x)\mathrm{e}^{-x}.$

   • اشتقاق $\ln(1+x)$: $\dfrac{1}{1+x}$.
     إذن:

   $$g'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}+\frac{1}{1+x}.$$

2. النقطة $x=0$: $g(0)=0\cdot e^0+\ln1=0$. الميل $g'(0)=(1-0)e^{0}+\dfrac{1}{1+0}=1+1=2$.
   معادلة المماس: $y=g(0)+g'(0)(x-0)=2x$.

3. نحتاج $I=\int_0^1 x\mathrm{e}^{-x}\,dx$. نستخدم التكامل بالتجزئة: $u=x$, $dv=e^{-x}dx$ ⇒ $du=dx$, $v=-e^{-x}$.

   $$I = uv\Big|_0^1 - \int_0^1 v\,du = \Big[-x e^{-x}\Big]_0^1 + \int_0^1 e^{-x}\,dx.$$

   حساب الحدود: $[-x e^{-x}]_0^1 = -1\cdot e^{-1} - 0 = -e^{-1}$.
   و$\int_0^1 e^{-x}\,dx = [-e^{-x}]_0^1 = -e^{-1}+1$.
   إذن:

   $$I = -e^{-1} + (-e^{-1}+1) = 1 - 2e^{-1}.$$

4. $\int_0^1 g(x)\,dx = \int_0^1 x e^{-x}\,dx + \int_0^1 \ln(1+x)\,dx$.
   نعرف الجزء الأول $=1-2e^{-1}$.
   نوجد $\int_0^1 \ln(1+x)\,dx$: التكامل بالتجزئة مع $u=\ln(1+x)$, $dv=dx$ ⇒ $du=\dfrac{1}{1+x}dx$, $v=x$.

   $$\int_0^1 \ln(1+x)\,dx = [x\ln(1+x)]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x}dx.$$

   نحسب: $[x\ln(1+x)]_0^1 = 1\cdot\ln2 - 0 = \ln2$.
   و$\int_0^1 \frac{x}{1+x}dx = \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x}\right)dx = [x]_0^1 - [\ln(1+x)]_0^1 = 1 - \ln2.$
   إذن $\int_0^1 \ln(1+x)\,dx = \ln2 - (1-\ln2)=2\ln2 -1.$
   أخيراً:

   $$\int_0^1 g(x)\,dx = (1 - 2e^{-1}) + (2\ln2 -1) = 2\ln2 - 2e^{-1}.$$

---

التمرين 3 — متتاليات (5 نقاط)

نعرف المتتالية $(u_n)$ بالعلاقة:

$$u_0=1,\quad u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n +3\quad \text{لكل }n\ge0.$$

1. استنتج نوع المتتالية (هندسية/حيثية/خطيّة) وابحث عن حدّها إن وُجد. (1.5 ن)

2. احسب $u_1,u_2$. (0.5 ن)

3. حلّ المتتالية بإيجاد صورة عامة $u_n$. (2 ن)

4. احسب $\lim_{n\to\infty} u_n$ وتحقق من توافقه مع الجزء 1. (1 ن)

الحل — التمرين 3

1. هذه متتالية خطية (تكرارية من الدرجة الأولى) على شكل $u_{n+1}=au_n+b$ حيث $a=\tfrac12$, $b=3$. لأنها ذات معامل مطلق $<1$، توجد حدّة ثابتة.
   حدّها $L$ يحقق $L=\tfrac12 L +3$ ⇒ $\tfrac12 L=3$ ⇒ $L=6$.

2. $u_1=\tfrac12\cdot1+3 = 3.5 = 7/2.$
   $u_2=\tfrac12\cdot\frac{7}{2}+3 = \frac{7}{4}+3 = \frac{7+12}{4}=\frac{19}{4}=4.75.$

3. نحلّ المتتالية العامة: نعتبر المتتالية الثابتة $v_n = u_n - L$ مع $L=6$.
   نحصل:

   $$v_{n+1}=u_{n+1}-6 = \frac12 u_n +3 -6 = \frac12 u_n -3 = \frac12(u_n-6)=\frac12 v_n.$$

   إذن $v_n = v_0\left(\frac12\right)^n$. نوجد $v_0 = u_0-6 = 1-6 = -5$.
   إذن:

   $$v_n = -5\left(\frac12\right)^n \quad\Rightarrow\quad u_n = 6 -5\left(\frac12\right)^n.$$

4. $\lim_{n\to\infty} u_n = 6 -5\cdot0 = 6$. يتطابق مع الجزء 1.

---

التمرين 4 — احتمالات وإحصاء (5 نقاط)

في صندوق يوجد 5 كرات حمراء و3 كرات زرقاء. تُسحب كرة عشوائياً مرتين متتاليتين دون إعادة.

1. ما احتمال سحب كرة حمراء ثم زرقاء؟ (1 ن)

2. ما احتمال أن تكون الكرتان من نفس اللون؟ (1.5 ن)

3. عرف $X$ رقمَي عدد الكرات الحمراء في السحب (0,1,2). جد التوزيع الاحتمالي لـ $X$ (2 ن)

4. حساب القيمة المتوقعة $E(X)$. (0.5 ن)

الحل — التمرين 4

مجموع الكرات = $5+3=8$.

1. $P(\text{حمراء ثم زرقاء}) = \frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{56}.$

2. حدث "نفس اللون" = (حمراء ثم حمراء) أو (زرقاء ثم زرقاء).

   • $P(\text{حمراء ثم حمراء})=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{20}{56}.$

   • $P(\text{زرقاء ثم زرقاء})=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56}.$
     إذن $P(\text{نفس اللون})=\frac{20+6}{56}=\frac{26}{56}=\frac{13}{28}.$

3. نوجد $P(X=0),P(X=1),P(X=2)$.

   • $X=0$: لا توجد حمراء ⇒ كلاهما زرقاء: $P(X=0)=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}.$

   • $X=2$: كلاهما حمراء: $P(X=2)=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}.$

   • $X=1$: بالقاعدة: $P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-\frac{3}{28}-\frac{5}{14}.$
     نحسب $\frac{5}{14}=\frac{10}{28}$. إذن $P(X=1)=1-\frac{3+10}{28}=1-\frac{13}{28}=\frac{15}{28}.$
     التوزيع:

   $$P(X=0)=\frac{3}{28},\quad P(X=1)=\frac{15}{28},\quad P(X=2)=\frac{5}{14}.$$

   (ملاحظة: $\frac{5}{14}=\frac{10}{28}$، ومجموع الكل $\frac{3+15+10}{28}=\frac{28}{28}=1$.)

4. $E(X)=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)=P(X=1)+2P(X=2).$

   $$E(X)=\frac{15}{28}+2\cdot\frac{10}{28}=\frac{15+20}{28}=\frac{35}{28}=\frac{5}{4}=1.25.$$

---

إذا رغبت، أقدر:

• أحول هذا الامتحان مع الحل إلى ملف PDF أو مستند جاهز للطباعة.

• أضع نسخة ثانية بترتيب درجات مختلف أو بمستوى أصعب/أسهل.

• أو أجهز امتحانًا آخر (نماذج: 3 ساعات، أو نصف ساعة تدريب).

أيّ خيار تفضّل؟