سلسلة تمارين في الاحتمالات باكالوريا علوم

 ممتاز — جبت لك الآن سلسلة تمارين صعبة بالمستوى الباكالوريا (شعبة العلوم) مع حلول كاملة ومفسرة خطوة-بـ-خطوة. خدم عليها وقلّي أي واحد تحب نزيد نحلّو بنماذج امتحان أو نعمل تمارين تصحيح الأخطاء. 🚀

مسائل وتمارين متقدمة في الاحتمالات

---

التمرين 1 — سحب بدون إرجاع (حالة مركبة)

كيس فيه 7 كرات حمراء و5 كرات زرقاء. نسحب ثلاث كرات بدون إرجاع.

1. ما عدد الحالات الممكنة (بافتراض أن كل الكرات مميزة)؟

2. احسب احتمال أن تكون جميع الكرات الثلاث حمراء.

3. احسب احتمال أن يكون عدد الكرات الحمراء بالضبط 2.

الحل

1. عدد الطرق لاختيار 3 من 12: $C_{12}^3=\dfrac{12\cdot11\cdot10}{3\cdot2\cdot1}=220$.

2. عدد الطرق لاختيار 3 حمراء من 7: $C_7^3=\dfrac{7\cdot6\cdot5}{6}=35$.

$$P(\text{3 حمراء})=\dfrac{35}{220}=\dfrac{7}{44}\approx0.1591.$$

3. اختيار بالضبط 2 حمراء و1 زرقاء: $C_7^2 \times C_5^1 = \dfrac{7\cdot6}{2}\times5 =21\times5=105$.

$$P(\text{بالضبط 2 حمراء})=\dfrac{105}{220}=\dfrac{21}{44}\approx0.4773.$$

---

التمرين 2 — التوزيع ذي الحدين (Bernoulli/Binomial)

في تجربة مستقلة تتكرر 10 مرات، احتمال النجاح في كل تجربة $p=0.3$.

1. ما احتمال الحصول على بالضبط 3 نجاحات؟

2. ما التوقع الرياضي (المتوسط) للتجربة؟

3. ما تباين عدد النجاحات؟

الحل

نستعمل $X\sim \mathrm{Bin}(n=10,p=0.3)$.

$$P(X=3)=C_{10}^3\,p^3(1-p)^{7}=120\cdot(0.3)^3\cdot(0.7)^7.$$

يمكن حساب رقميًا: $(0.3)^3=0.027$، $(0.7)^7\approx0.0823543$.
فـ $P(X=3)\approx 120\times0.027\times0.0823543\approx0.2673$.

2. التوقع: $\mathbb{E}(X)=np=10\times0.3=3$.

3. التباين: $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=10\times0.3\times0.7=2.1$.

---

التمرين 3 — احتمال شرطي وتمثيل شجري

مصنعين $A$ و$B$ ينتجان قطعًا إلكترونية. $A$ يصنع 70% من الإنتاج ونسبة العيوب في $A$ هي 4%. $B$ يصنع 30% ونسبة العيوب 10%. نأخذ قطعة عشوائياً.

1. احسب احتمال أن تكون قطعة تالفة.

2. إذا كانت القطعة تالفة، ما احتمال أنها من المصنع $B$؟ (قاعدة بايز)

الحل

نرمز $P(A)=0.7, P(B)=0.3, P(T|A)=0.04, P(T|B)=0.10$.

1. قانون الاحتمال الكلي:

$$P(T)=P(A)P(T|A)+P(B)P(T|B)=0.7\cdot0.04+0.3\cdot0.10=0.028+0.03=0.058.$$

2. بايز:

$$P(B|T)=\dfrac{P(B)P(T|B)}{P(T)}=\dfrac{0.3\cdot0.10}{0.058}=\dfrac{0.03}{0.058}\approx0.5172.$$

إذن الاحتمال ≈ $51.72\%$.

---

التمرين 4 — تجربة متسلسلة مع إرجاع (مستقلة) وحساب "على الأقل"

علبة فيها 4 كرات حمراء و6 زرقاء. نسحب 5 مرات مع إرجاع (كل سحب مستقل).

1. ما احتمال الحصول على على الأقل كرة حمراء واحدة في الخمس تجارب؟

2. ما احتمال الحصول على بالضبط 2 كرات حمراء؟

الحل

في كل تجربة $p(\text{حمراء})=\dfrac{4}{10}=0.4$. مع إرجاع، $X\sim\mathrm{Bin}(n=5,p=0.4)$.

1. $P(\text{على الأقل 1})=1-P(X=0)=1-(1-p)^5=1-(0.6)^5$.
   $(0.6)^5=0.6^4\cdot0.6=0.1296\cdot0.6=0.07776$.

$$P(\ge1)=1-0.07776=0.92224.$$

$$P(X=2)=C_5^2(0.4)^2(0.6)^3=10\times0.16\times0.216=10\times0.03456=0.3456.$$

---

التمرين 5 — مزيج: قانون كلي + شرطية + ترتيب

صندوق يحتوي على 8 مقاومات منها 3 معيبة. نختار بالتوالي 2 مقاومة بدون إرجاع ونقيسهما.

1. احسب احتمال أن تكون الأولى سليمة والثانية معيبة.

2. احسب احتمال أن تكون بالترتيب سليم ثم سليم.

3. إذا علمنا أن مقاومتين من اللذين اختُيرَوا على الأقل واحدة معيبة، ما احتمال أن تكون الأولى مَعيبة؟ (استخدم الاحتمال الشرطي)

الحل

مجموع =8، معيبة=3، سليمة=5.

1. $P(\text{سليمة}_1\cap\text{معيبة}_2)=P(\text{سليمة}_1)\cdot P_{\text{s1}}(\text{معيبة}_2)=\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{15}{56}\approx0.2679.$

2. $P(\text{سليم ثم سليم})=\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{4}{7}=\dfrac{20}{56}=\dfrac{5}{14}\approx0.3571.$

3. نعرف الحدث $A=\{\text{على الأقل واحدة معيبة في الاختيارين}\}$. نريد $P(\text{الأولى مَعيبة} \mid A)$.

أولًا $P(A)=1-P(\text{لا توجد معيبة})=1-P(\text{سليم ثم سليم})=1-\dfrac{5}{14}=\dfrac{9}{14}.$

الحدث $B=\{\text{الأولى مَعيبة}\}$. نحسب $P(B\cap A)$. ملاحظة: إذا الأولى مَعيبة فـ $B\cap A=B$ لأن إذا الأولى مَعيبة يكون شرط "على الأقل واحدة معيبة" محققًا. إذن $P(B\cap A)=P(B)=P(\text{الأولى مَعِيبة})=\dfrac{3}{8}.$

بالتالي

$$P(\text{الأولى مَعِيبة}\mid A)=\dfrac{P(B)}{P(A)}=\dfrac{3/8}{9/14}=\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{14}{9}=\dfrac{42}{72}=\dfrac{7}{12}\approx0.5833.$$

---

إذا بغيت نكمل بـ:

• عبادات حلول من نماذج الباكالوريا الفعلية (نماذج سنين سابقة) مع تعليقات المراقبين، أو

• أكثر تمارين صعبة (احتمالات مستمرة / توزيع بواسون / تقريب ثنائي بالمتوسط)، أو

• ورقة اختبار جاهزة (6 أسئلة + الحلول) تبع الوقت والتحميل للطباعة،

قول لي أي واحد تختار ونبداو مباشرة — نوجدها لك فورًا. ✍️