تمارين حول الإشتقاق

 

تمام ✅ خليني أكمّللك الدرس بنفس الروح وأضيف تمارين مع الحل حتى يصير كامل للاستيعاب والتطبيق.

---

📝 تمارين حول الاشتقاق مع الحل

🔹 التمرين 1

احسب مشتقة الدالة:

$$f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 4$$

✅ الحل:

$$f'(x) = 15x^2 - 4x + 7$$

---

🔹 التمرين 2

احسب مشتقة الدالة:

$$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$$

✅ الحل:

نكتبها أولاً:

$$f(x) = \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = x + x^{-1}$$

الاشتقاق:

$$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$$

---

🔹 التمرين 3

احسب مشتقة الدالة:

$$f(x) = (3x^2 + 1)(2x - 5)$$

✅ الحل:

قاعدة الجداء:

$$f'(x) = (6x)(2x - 5) + (3x^2+1)(2)$$ $$f'(x) = 12x^2 - 30x + 6x^2 + 2$$ $$f'(x) = 18x^2 - 30x + 2$$

---

🔹 التمرين 4

احسب مشتقة الدالة:

$$f(x) = \ln(x^2+1)$$

✅ الحل:

باستعمال قاعدة السلسلة:

$$f'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot (2x)$$ $$f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$$

---

🔹 التمرين 5 (تطبيق هندسي)

لدينا الدالة:

$$f(x) = x^2 - 4x + 3$$

أوجد معادلة المماس عند النقطة حيث $x = 2$.

✅ الحل:

• حساب $f(2)$:

$$f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

إذن النقطة: $(2, -1)$.

• المشتقة:

$$f'(x) = 2x - 4$$ $$f'(2) = 0$$

إذن ميل المماس = 0، أي المماس أفقي.

معادلته:

$$y = -1$$

---

✨ ملاحظات ختامية

• الاشتقاق يعطينا ميل المماس.

• باستعمال المشتقة يمكن نحدد الاتجاه (تزايد/تناقص)، ونوجد القيم القصوى.

• في التمارين التطبيقية، حاول دائماً تبسط الدالة قبل الاشتقاق.

---

تحبني أجهزلك سلسلة تمارين إضافية بدون حل باش تجربها وحدك (مع إمكانية نعطيك الحل بعد ما تحاول)؟